АКСИОМЫ СТАТИКИ И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ.ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ

   В основе механики, в частности, статики, лежат аксиомы — исходные положения, принимаемые в силу своей очевидности без доказательств, установленные на основании многочисленных опытов и наблюдений над движением и равновесием.

   Приступая к изучению статики абсолютно твердого тела, ограничимся рассмотрением аксиом, которые достаточны для обоснования статики. В число аксиом статики войдет один из законов Ньютона — закон равенства действия и противодействия (т. е. третий закон Ньютона). С точки зрения логической строгости необходимо, чтобы число аксиом было минимальным, чтобы они были непротиворечивы и независимы. Таким образом, в основе статики лежит несколько аксиом, или истин, принимаемых без математических доказательств и подтверждаемых опытом. Все остальные положения статики выводят и строго доказывают, исходя из этих аксиом.

   Аксиома I (об абсолютно твердом теле). Две силы, приложенные к свободному абсолютно твердому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по модулю (F1=F2) и направлены вдоль общей линии действия в противоположные стороны (рис. 18):

                                                    

   Эта аксиома справедлива только для абсолютно твердого тела. Она определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

   Аксиома II. (О присоединении и отбрасывании уравновешивающихся сил). Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Вторая аксиома является логическим следствием первой. В са¬мом деле, если две взаимно уравновешенные силы не оказывают никакого действия на тело, то мы вправе утверждать, что любая уравновешенная система сил не влияет на твердое тело, незави¬симо от того, находилось ли тело в покое или в движении перед тем, как мы отбросили от него или приложили к нему уравнове¬шенную систему сил.
Поскольку данная система сил, действующая на твердое тело, и новая система, полученная из данной путем отбрасывания от нee (или присоединения к ней) взаимно уравновешенных сил, оказывают на тело одинаковое действие, то обе эти системы эквивалентны.
Основываясь на первой и второй аксиомах, докажем следующую теорему.
   Теорема. Действие силы на твердое тело не изменится, если щеренести силу вдоль линии ее действия в любую точку тела.

   Пусть в точке А к телу приложена сила (рис. 19, а). Необходимо эту силу перенести в точку В по линии ее действия. Приложим в точке В  две силы: 1= и 2 = — (рис. 19, б). Вследствие этого действие силы на тело не изменится. Но силы 1и2  согласно первой аксиоме образуют уравновешенную систему сил, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила 1 равная 1, но приложенная в точке В (рис. 19, в). На основании доказанной теоремы приходим к выводу, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, Может быть перенесена в любую точку по линии ее действия, т. е.    является скользящим вектором. 

                                        

   Этот вывод справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело. При технических расчетах им можно пользоваться лишь тогда, когда определяются условия равновесия той или иной конструкции и не рассматриваются внутренние усилия ее частях. Перенос силы по линии ее действия в случае деформируемого тела существенно изменяет его состояние, а потому сила, приложенная к деформируемому телу, не является скользящим вектором. Следовательно, при определении внутренних усилий переносить точку приложения силы вдоль линии действия нельзя.

Аксиома III (аксиома параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил у приложенных к твердому телу в одной точке и направленных под углом друг к другу, приложена в той же точке и изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на данных силах как на двух сторонах

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах 1и2 (рис. 20), называется геометрической суммой векторов 1и2:

                                                                = 1+ 2

      
   В третьей аксиоме говорится о сложении сил, приложенных в одной точке тела. Но складывать силы по правилу параллелограмма можно также и в том случае, когда силы приложены к твердому телу в различных точках, а их линии действий пересекаются. Тогда согласно теореме о переносе силы вдоль  ее линии действия

                                             

обе силы нужно перенести в точку пересечения линий действия и сложить по правилу параллелограмма.
   Основываясь на первой и третьей аксиомах, докажем теорему о трех силах, т. е. выведем необходимое условие равновесия трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости.
   Теорема о трех силах. Если приложенные к твердому телу три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, находятся в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Положим, что тело находится в равновесии под действием трех сил 1,2 3 приложенных в точках А, В, С (рис. 21). По третьей аксиоме статики равнодействующая первых двух сил может быть найдена по правилу параллелограмма, построенного на силах 1и2, перенесенных вдоль линии их действия в точку О пересечения последних, т. е.

                                                                   = 1+ 2

   Согласно первой аксиоме статики для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы сила 3 была уравновешивающей двух первых сил. Это возможно только в том случае, когда силы    и  3 лежат на одной прямой и имеют противоположные направления. Но тогда линии действия сил 1,2 3  пересекутся в одной точке О. Легко доказать, что любая из трех данных сил уравновешивает две другие.
    Следует заметить, что выведенное условие равновесия трех непараллельных сил является необходимым, но не достаточным, т. е. мы можем утверждать, что если три непараллельные силы находятся в равновесии, то их линии действия пересекаются в одной точке, но мы не вправе сделать обратного заключения. Если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то отсюда  вовсе не следует, что эти три силы представляют собой уравновешенную систему сил. 

Рассмотренная теорема имеет боль¬шое методическое значение при решении задач статики.

       Аксиома IV. Силы, возникающие при действии двух тел друг на друга, всегда равнымежду собой по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны (III закон Ньютона или закон равенства действия и противодействия).

    Из самого определения силы следует, что если некоторое тело А
деййствует на тело В с силой , то одновременно тело В действует
на тело А с такой же по модулю, направленной вдоль той же пря-
мой, но в противоположную сторону силой F' = — (рис. 22)
(сила условно называется действием, a F' — противодействием).
Например, отпор основания (грунта) равен давлению фундамента
на основание и направлен в противоположную сторону. Таким
образом, строго говоря, в природе не существует одностороннего
действия сил, а есть только взаимодействие тел.
   Действие и противодействие — две силы, всегда приложенные к разным телам. Следовательно, нельзя говорить, что эти две силы уравновешиваются, так как это имеет место только в случае двух равных сил, приложенных к одному и тому же твердому телу и направленных по одной прямой в противоположные стороны (первая аксиома).
   В связи с тем, что при изучении условий равновесия тело рассматривают как абсолютно твердое, то согласно первой аксиоме все внутренние силы образуют уравновешенную систему, которую можно отбросить (по второй аксиоме). Следовательно, при изучении условий равновесия тела необходимо учитывать только внешние силы, действующие на это тело. В дальнейшем, говоря о действующих силах, мы будем подразумевать только внешние силы, если, не сделано специальной оговорки.

   Аксиома V (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело отвердеет (станет абсолютно твердым).
   Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь) или любую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к ним методы статики твердого тела. Однако этих условий оказывается недостаточно. Остальные уравнения равновесия получают из дополнительных условий, учитывающих условия равновесия отдельных частей конструкции.