АКСИОМЫ СТАТИКИ И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ.ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ

   В основе механики, в частности, статики, лежат аксиомы — исходные положения, принимаемые в силу своей очевидности без доказательств, установленные на основании многочисленных опытов и наблюдений над движением и равновесием.

   Приступая к изучению статики абсолютно твердого тела, ограничимся рассмотрением аксиом, которые достаточны для обоснования статики. В число аксиом статики войдет один из законов Ньютона — закон равенства действия и противодействия (т. е. третий закон Ньютона). С точки зрения логической строгости необходимо, чтобы число аксиом было минимальным, чтобы они были непротиворечивы и независимы. Таким образом, в основе статики лежит несколько аксиом, или истин, принимаемых без математических доказательств и подтверждаемых опытом. Все остальные положения статики выводят и строго доказывают, исходя из этих аксиом.

   Аксиома I (об абсолютно твердом теле). Две силы, приложенные к свободному абсолютно твердому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по модулю (F1=F2) и направлены вдоль общей линии действия в противоположные стороны (рис. 18):

                                                    

   Эта аксиома справедлива только для абсолютно твердого тела. Она определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

   Аксиома II. (О присоединении и отбрасывании уравновешивающихся сил). Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Вторая аксиома является логическим следствием первой. В са¬мом деле, если две взаимно уравновешенные силы не оказывают никакого действия на тело, то мы вправе утверждать, что любая уравновешенная система сил не влияет на твердое тело, незави¬симо от того, находилось ли тело в покое или в движении перед тем, как мы отбросили от него или приложили к нему уравнове¬шенную систему сил.
Поскольку данная система сил, действующая на твердое тело, и новая система, полученная из данной путем отбрасывания от нee (или присоединения к ней) взаимно уравновешенных сил, оказывают на тело одинаковое действие, то обе эти системы эквивалентны.
Основываясь на первой и второй аксиомах, докажем следующую теорему.
   Теорема. Действие силы на твердое тело не изменится, если щеренести силу вдоль линии ее действия в любую точку тела.

   Пусть в точке А к телу приложена сила (рис. 19, а). Необходимо эту силу перенести в точку В по линии ее действия. Приложим в точке В  две силы: 1= и 2 = — (рис. 19, б). Вследствие этого действие силы на тело не изменится. Но силы 1и2  согласно первой аксиоме образуют уравновешенную систему сил, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила 1 равная 1, но приложенная в точке В (рис. 19, в). На основании доказанной теоремы приходим к выводу, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, Может быть перенесена в любую точку по линии ее действия, т. е.    является скользящим вектором. 

                                        

   Этот вывод справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело. При технических расчетах им можно пользоваться лишь тогда, когда определяются условия равновесия той или иной конструкции и не рассматриваются внутренние усилия ее частях. Перенос силы по линии ее действия в случае деформируемого тела существенно изменяет его состояние, а потому сила, приложенная к деформируемому телу, не является скользящим вектором. Следовательно, при определении внутренних усилий переносить точку приложения силы вдоль линии действия нельзя.

Аксиома III (аксиома параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил у приложенных к твердому телу в одной точке и направленных под углом друг к другу, приложена в той же точке и изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на данных силах как на двух сторонах

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах 1и2 (рис. 20), называется геометрической суммой векторов 1и2:

                                                                = 1+ 2

      
   В третьей аксиоме говорится о сложении сил, приложенных в одной точке тела. Но складывать силы по правилу параллелограмма можно также и в том случае, когда силы приложены к твердому телу в различных точках, а их линии действий пересекаются. Тогда согласно теореме о переносе силы вдоль  ее линии действия

                                             

обе силы нужно перенести в точку пересечения линий действия и сложить по правилу параллелограмма.
   Основываясь на первой и третьей аксиомах, докажем теорему о трех силах, т. е. выведем необходимое условие равновесия трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости.
   Теорема о трех силах. Если приложенные к твердому телу три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, находятся в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Положим, что тело находится в равновесии под действием трех сил 1,2 3 приложенных в точках А, В, С (рис. 21). По третьей аксиоме статики равнодействующая первых двух сил может быть найдена по правилу параллелограмма, построенного на силах 1и2, перенесенных вдоль линии их действия в точку О пересечения последних, т. е.

                                                                   = 1+ 2

   Согласно первой аксиоме статики для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы сила 3 была уравновешивающей двух первых сил. Это возможно только в том случае, когда силы    и  3 лежат на одной прямой и имеют противоположные направления. Но тогда линии действия сил 1,2 3  пересекутся в одной точке О. Легко доказать, что любая из трех данных сил уравновешивает две другие.
    Следует заметить, что выведенное условие равновесия трех непараллельных сил является необходимым, но не достаточным, т. е. мы можем утверждать, что если три непараллельные силы находятся в равновесии, то их линии действия пересекаются в одной точке, но мы не вправе сделать обратного заключения. Если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то отсюда  вовсе не следует, что эти три силы представляют собой уравновешенную систему сил. 

Рассмотренная теорема имеет боль¬шое методическое значение при решении задач статики.

       Аксиома IV. Силы, возникающие при действии двух тел друг на друга, всегда равнымежду собой по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны (III закон Ньютона или закон равенства действия и противодействия).

    Из самого определения силы следует, что если некоторое тело А
деййствует на тело В с силой , то одновременно тело В действует
на тело А с такой же по модулю, направленной вдоль той же пря-
мой, но в противоположную сторону силой F' = — (рис. 22)
(сила условно называется действием, a F' — противодействием).
Например, отпор основания (грунта) равен давлению фундамента
на основание и направлен в противоположную сторону. Таким
образом, строго говоря, в природе не существует одностороннего
действия сил, а есть только взаимодействие тел.
   Действие и противодействие — две силы, всегда приложенные к разным телам. Следовательно, нельзя говорить, что эти две силы уравновешиваются, так как это имеет место только в случае двух равных сил, приложенных к одному и тому же твердому телу и направленных по одной прямой в противоположные стороны (первая аксиома).
   В связи с тем, что при изучении условий равновесия тело рассматривают как абсолютно твердое, то согласно первой аксиоме все внутренние силы образуют уравновешенную систему, которую можно отбросить (по второй аксиоме). Следовательно, при изучении условий равновесия тела необходимо учитывать только внешние силы, действующие на это тело. В дальнейшем, говоря о действующих силах, мы будем подразумевать только внешние силы, если, не сделано специальной оговорки.

   Аксиома V (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело отвердеет (станет абсолютно твердым).
   Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь) или любую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к ним методы статики твердого тела. Однако этих условий оказывается недостаточно. Остальные уравнения равновесия получают из дополнительных условий, учитывающих условия равновесия отдельных частей конструкции.

АКСИОМА О СВЯЗЯХ

   Аксиома о связях (принцип освобождаемости от связей): всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно освободить его от связей, заменив их действие соответствующими силами реакций связей.
    Приведенная аксиома дает возможность применить к несвободному телу условия равновесия, справедливые для свободного тела. Для этого следует мысленно отбросить связи, наложенные на тело, заменив их действие соответствующими силами, равными реакциям связей. Затем нужно рассмотреть равновесие несвободного тела как тела свободного, находящегося под действием активных сил и реакций, связей.
    Определение модулей и направлений реакций связей имеет первостепенное практическое значение, так как согласно четвертой аксиоме, зная реакции, будем знать и силы давления на связи. А это, в свою очередь, позволит, пользуясь законами сопротивления материалов, рассчитать прочность конструкций или сооружений.
    При решении некоторых задач о равновесии тела можно сразу указать направление реакций связей, поэтому остается определить модули реакций связей.
    Во многих задачах статики для их упрощения условно пренебрегают силами трения между связью и телом. Связь в таких случаях считают идеально гладкой в отличие от реальной связи, в которой учитывается влияние сил трения.
    Таким образом, мы будем различать связи без трения (идеальные) и связи с трением (реальные).
    Укажем несколько примеров наиболее часто встречающихся связей и установим возможное направление их реакций.

СВЯЗИ. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ.

    Тела, рассматриваемые в механике, могут быть свободными и несвободными. По определению, приведенному выше, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным.

    Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным.

    Необходимо помнить, что разделение тел на свободные и несвободные условно, так как фактически свободных тел в природе нет. Если тело не свободно, то говорят, что на него наложены связи. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью.
    Следует подчеркнуть, что определение связей, как некоторых других тел, ограничивающих свободу перемещений данного тела, является неполным. Наиболее общее и полное определение связей будет дано в разделе динамики.
   Если тело не может покинуть связь, то связь называется удерживающей. Примером может служить проволока с надетым на нее кольцом. Если же тело при некоторых перемещениях может покинуть связь, то она называется односторонней или неудерживающей: например, тело, лежащее на столе, может перемещаться по столу —связь не нарушается, но если поднять его, сняв со стола, связь нарушится.
   Тело под действием приложенных к нему сил давит на связи, но перемещению тела препятствуют наложенные на него связи» отклоняющие движение от того направления, которое имело бы тело, свободное от связей.
   Сила, с которой связь действует на тело, называется реакцией связи. Если считать силу, с которой тело действует на связь, действием, то сила реакции связи является противодействием. Согласно закону о равенстве действия и противодействия реакция связи
равна по модулю силе действия тела на связь, а ее направление противоположно тому направлению, в котором данная связь препятствует перемещению тела. Однако эти силы нельзя считать уравновешенными, хотя они равны по модулю и направлены противоположно, так как точки приложения этих двух сил принадлежат различным телам: действие (давление) приложено к связи, а реакция связи (противодействие) приложена к телу, равновесие которого мы рассматриваем.
   Таким образом, все силы, действующие на тело, можно разделить на две группы: силы активные, или задаваемые (сила тяжести, сила упругости сжатой или растянутой пружины и т. п.) и реакции связей. К первой группе следует относить все силы, не являющиеся реакциями связей.
   Характерной особенностью активных сил является то, что модуль и направление каждой из них наперед известны и непосредственно не зависят от действия других, приложенных к данному телу сил, а также от движения тела и характера наложенных на него связей. Силы реакции связей зависят от действия приложенных активных сил, а также от движения тела и характера наложенных на него связей

   Реакции связей возникают только тогда, когда тело, на которое заложены связи, под действием активных сил оказывает давление на эти связи. Как только давление прекращается, перестают действовать на тело и силы реакции связей. В этом смысле силы реакции связей называются пассивными, так как в отличие от активных они сами не могут вызвать движение тела.

   Изучая движение или покой какого-либо тела, мы должны учитывать все силы, которые действуют на это тело,— как активные, так и реакции связей.

   В статике почти всегда приходится рассматривать равновесие несвободного тела. Определение реакций связей для тела, находящегося в равновесии, является одной из основных задач статики.

   Чтобы определить реакцию связи, необходимо знать ее модуль, направление и точку приложения. Модуль каждой силы реакции связи всегда зависит от действующих на тело активных сил и является наперед неизвестным. Направление же сил реакций связей известно лишь для некоторых типов связей. Если связь препятствует перемещению тела только в одном каком-нибудь направлении, то направление ее реакции противоположно этому направлению. Если же связь препятствует перемещениям тела по многим направлениям, то направление силы реакции связи наперед неизвестно и может быть (так же, как и модуль силы реакции) установлено в результате решения соответствующей задачи статики. Точка приложения реакции связи известна.

    Следует подчеркнуть, что если связь не препятствует перемещению тела в некотором направлении, то ее реакция не имеет составляющей в этом направлении.

    

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

    Статикой (от греческого слова «стасис»—неподвижное состояние, покой) - называется учение о равновесии сил, действующих на твердое тело, а также о замене одних систем другими, им эквивалентными.
Статика есть частный случай динамики, поскольку динамика изучает движение под действием сил, а равновесие — частный случай движения. В ней рассматриваются две основные задачи: 1) сложение сил и приведение системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, к простейшему виду; 2) определение необходимых и  достаточных условий равновесия действующих на абсолютно твердое тело систем сил.
    Изучение теоретической механики обычно начинают со статики твердого тела, так как ее методы широко применяются во многих технических дисциплинах.
    Как уже отмечалось, для механики важен эффект, который производят действующие на тело силы, т. е. изменение механического состояния тела. Если изменение механического состояния тела выражается в изменении скорости его движения (в частности, в изменении равновесия тела), то тогда говорят о динамическом проявлении силы.
Если же в результате действия одного тела на другое характер движения не изменяется, в частности, не нарушается состояние равновесия другого тела, то в таком случае говорят о статическом проявлении силы.
Как известно из опыта, действие силы на тело определяется следующими тремя элементами: 1) численным значением (модулем) силы, 2) направлением силы и 3) точкой приложения силы. Понятие силы в механике имеет научную ценность потому, что ее можно измерять. Измерение силы в механике основано на сравнении с однородной величиной, условно принятой за единицу измерения (эталон). При этом две сравниваемые силы считают равными, если их действия на тело в одних и тех же условиях одинаковы.
   Приборы, служащие для статического сравнения и измерения сил, называются динамометрами (силомерами). Примером простейшего динамометра служат обыкновенные пружинные весы.
    В технической системе единиц (МКГСС) за единицу силы принимают килограмм силы (сокращенно — кГ), т. е. вес международного эталона, приблизительно равный весу одного кубического дециметра чистой воды при 4° С на уровне моря и на широте 45°. В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, называемая ньютоном (сокращенно—н).

Заметим, что 1 кГ = 9,81 н или 1н=0,102 кГ  т. е. ньютон примерно в 10 раз меньше силы в 1 кГ.
Выбор  международной единицы силы основан на динамическом определении силы.

    Направлением силы есть  направление того прямолинейного движения, которое данная сила сообщила бы точке ее приложения, если бы эта частица тела была свободна и находилась до этого в покое.
Прямая, по которой направлена сила, называется линией действия силы.
Точкой приложения силы называется та материальная частица тела, к которой сила непосредственно приложена.
Таким образом, сила является векторной величиной. Заметим, что силу нельзя рассматривать как свободный вектор, так как точку приложения силы нельзя выбирать произвольно.
Сила, как и всякий вектор, изображается направленным отрезком (со стрелкой на конце). Длина этого отрезка (АВ на рис. 16) выражает в выбранном масштабе модуль силы, его начало (точка А) обычно совпадает с точкой приложения силы.

   Прямая DЕ называется линией действия силы.
Силу, как и всякую векторную величину, будем обозначать одной буквой со стрелкой над ней (например ) или двумя буквами со стрелкой над ними (например ). Модуль силы обозначается той же буквой, но без стрелки над ней, например F, или заключением вектора в прямые скобки //.
   Теперь выясним понятие системы сил, механической эквивалентности системы сил, а также понятие взаимно-уравновешивающихся сил.
1. Совокупность сил, одновременно действующих на данное тело, называется системой сил.
  Силы, входящие в состав данной системы, называются составляющими. .
2. Если одну систему Сил, действующих на данное свободное тело, можно заменить другой, не изменяя при этом равновесия или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил будут эквивалентными.
З. Свободным телом называется тело, не скрепленное с другими телами, т. е. тело, которому можно сообщить любое перемещение в пространстве.
Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в равновесии, называется уравновешенной, или эквивалентной нулю.
4. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то такая сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая — это сила, которая эквивалентна данной системе сил, т. е. одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело.
  Нахождение равнодействующей называется сложением сил, а замена одной силы системой сил, действующих на тело так же, как и данная сила, называется разложением сил. В дальнейшем мы увидим, что не всякая система сил может быть заменена одной силой, и, следовательно, не всякая система сил имеет равнодействующую.
 5. Если под действием данной системы сил свободное тело не
изменяет своего движения или, в частности, продолжает оставаться
в равновесии, то она называется уравновешенной системой, или
системой, эквивалентной нулю. Говорят также, что эта система сил находится в равновесии.
6. Сила, которая, будучи присоединена к некоторой системе сил, действующих на тело, приводит ее в равновесие, называется уравновешивающей силой данной системы. Уравновешивающая сила равна по величине равнодействующей силе, но направлена в сторону, ей противоположную.
 Чтобы твердое тело находилось в равновесии под действием некоторой системы сил, последние должны удовлетворять опреде-ленным условиям равновесия. Нахождение этих условий является одной из основных задач статики. Но для того, чтобы определить условия равновесия различных систем сил, а также решить ряд других задач механики, необходимо уметь складывать силы, дей-ствующие на твердое тело, заменять одну систему сил другой и при-водить данную систему сил к простейшему виду.
Силы, действующие на твердое тело, делятся на активные, или задаваемые, и реакции связей. Связи играют большую роль в датике и будут рассмотрены подробно позже.
   Активными силами в технике являются различные нагрузки. Они могут быть сосредоточенными и распределенными.
Сосредоточенной называется сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.
Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собой по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил, например, сил тяжести тел. Сосредоточенные нагрузки будем обозначать буквами 

 

     В технических расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону.
    Распределенная система сил характеризуется интенсивностью q, т. е. величиной силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах или килограммах, деленных на метры (н/м или кГ/м).
Рассмотрим некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости.
1. Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 17, а). Для такой системы сил интенсивность q — величина постоянная. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей  По модулю

где а — длина отрезка, вдоль которого распределена нагрузка.
2. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 17, б). Примером такой нагрузки могут служить силы давления воды на плотину, величина которых наибольшая у дна и падает до нуля у поверхности воды. Для этих сил интенсивность q — величина переменная, растущая от нуля до максимального значения qmax.

Равнодействующая таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину. Поскольку вес однородной пластины пропорционален ее площади, то по модулю

                                                                   

Линия действия силы  проходит на расстоянии а/3 от qmax.

3. Силы, равномерно распределенные по дуге окружности (рис. 17, в), например, силы q гидростатического давления на боковые стенки цилиндрического сосуда. Из симметрии, ясно, что сумма проекций этих сил на ось Оу, перпендикулярную оси симметрии Ох,
равна нулю. Следовательно, их равнодействующая Q направлена вдоль оси Ох.
  По модулю   

                                                                        

где h— длина хорды, стягиваемой дугой 

Силы, действующие на твердое тело, можно разделить также на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.
   Внутренние силы возникают в телах под действием внешних.

  Основной задачей статики является исследование условий равновесия внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу. Для выявления внутренних усилий, возникающих в конструкциях под действием внешних сил, используют метод сечений, который Эволяет свести определение внутренних сил в твердом теле к определению сил внешних. Этот метод заключается в следующем: мысленно разрезают тело плоскостью там, где хотят определить внутренние силы, отбрасывают любую отрезанную часть тела и заменяют действие отброшенной части силой, которая будет внешней для рассматриваемой части тела. Из условий равновесия определяют указанную силу. Метод сечений особенно широко используют в курсе «Сопротивление материалов».